Die Grenzwerte unendlicher Reihen lassen sich mithilfe der Funktion "sum(summand(n), n=k..infinity)" berechnen. Man beachte den Unterschied zwischen den Funktionen "sum()" und "Sum()". Wir betrachten die folgenden Beispiele:Sum(x^n, n=0..infinity); (unendliche geometrische Reihe) Sum(63/(10^(4+2*n)), n=0..infinity); Sum(1/(4*n^2-1), n=1..infinity); Sum(1/n, n=1..infinity); (harmonische Reihe) Sum(1/n^2, n=1..infinity); Sum(1/n^4, n=1..infinity); Sum(1/n^6, n=1..infinity); Sum((-1)^(n-1)/n, n=1..infinity); (alternierende harmonische Reihe) Sum((-1)^n/(2*n+1), n=0..infinity); (Leibnizsche Reihe) Sum(1/(n*(n+1)), n=1..infinity); Sum(n^2/2^n, n=1..infinity); Sum(n^4/3^n, n=0..infinity); Sum((n+4)/(n^2-3*n+1), n=0..infinity); Sum(16/((4*n-3)*(16*n^2-1)), n=1..infinity); Sum(x^n/n!, n=0..infinity); (Exponentialreihe) Sum(binomial(alpha,n)*x^n, n=0..infinity); (Binomische Reihe) Sum((-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)!, n=0..infinity); (Sinus-Reihe) Sum((-1)^n*x^(2*n)/(2*n)!, n=0..infinity); (Cosinus-Reihe) Sum((-1)^(n-1)/n*x^n, n=1..infinity); (Logarithmus-Reihe)

NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKUkieEdGKEkibkdGKC9GLDsiIiFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkLCQqJCkiIzUsJiIiJSIiIkkibkdGKCIiIyEiIiIjai9GMTsiIiFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiQsJiokSSJuR0YoIiIjIiIlISIiIiIiRjAvRi07RjFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiRJIm5HRighIiIvRis7IiIiSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiRJIm5HRighIiMvRis7IiIiSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiRJIm5HRighIiUvRis7IiIiSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiRJIm5HRighIicvRis7IiIiSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiYpISIiLCZJIm5HRigiIiJGLEYvRi9GLkYsL0YuO0YvSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiYpISIiSSJuR0YoIiIiLCZGLSIiI0YuRi5GLC9GLTsiIiFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiZJIm5HRighIiIsJkYrIiIiRi5GLkYsL0YrO0YuSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiZJIm5HRigiIiMpRixGKyEiIi9GKzsiIiJJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiZJIm5HRigiIiUpIiIkRishIiIvRis7IiIhSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiYsJkkibkdGKCIiIiIiJUYtRi0sKCokRiwiIiNGLUYsISIkRi1GLSEiIi9GLDsiIiFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkLCQqJiwmSSJuR0YoIiIlISIkIiIiISIiLCYqJEYtIiIjIiM7RjFGMEYxRjUvRi07RjBJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiYpSSJ4R0YoSSJuR0YoIiIiLUkqZmFjdG9yaWFsR0YmNiNGLSEiIi9GLTsiIiFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiYtSSliaW5vbWlhbEdGJTYkSSZhbHBoYUdGKEkibkdGKCIiIilJInhHRihGL0YwL0YvOyIiIUkpaW5maW5pdHlHRiY=NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKigpISIiSSJuR0YoIiIiKUkieEdGKCwmRi0iIiNGLkYuRi4tSSpmYWN0b3JpYWxHRiY2I0YxRiwvRi07IiIhSSlpbmZpbml0eUdGJg==NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKigpISIiSSJuR0YoIiIiKUkieEdGKCwkRi0iIiNGLi1JKmZhY3RvcmlhbEdGJjYjRjFGLC9GLTsiIiFJKWluZmluaXR5R0YmNiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKigpISIiLCZJIm5HRigiIiJGLEYvRi9GLkYsKUkieEdGKEYuRi8vRi47Ri9JKWluZmluaXR5R0Ym

Diese unendlichen Reihen besitzen der Reihe nach die folgenden Grenzwerte:sum(x^n, n=0..infinity); (unendliche geometrische Reihe) sum(63/(10^(4+2*n)), n=0..infinity); sum(1/(4*n^2-1), n=1..infinity); sum(1/n, n=1..infinity); (harmonische Reihe) sum(1/n^2, n=1..infinity); sum(1/n^4, n=1..infinity); sum(1/n^6, n=1..infinity); sum((-1)^(n-1)/n, n=1..infinity); (alternierende harmonische Reihe) sum((-1)^n/(2*n+1), n=0..infinity); (Leibnizsche Reihe) sum(1/(n*(n+1)), n=1..infinity); sum(n^2/2^n, n=1..infinity); sum(n^4/3^n, n=0..infinity); sum((n+4)/(n^2-3*n+1), n=0..infinity); sum(16/((4*n-3)*(16*n^2-1)), n=1..infinity); sum(x^n/n!, n=0..infinity); (Exponentialreihe) sum(binomial(alpha,n)*x^n, n=0..infinity); (Binomische Reihe) sum((-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)!, n=0..infinity); (Sinus-Reihe) sum((-1)^n*x^(2*n)/(2*n)!, n=0..infinity); (Cosinus-Reihe) sum((-1)^(n-1)/n*x^n, n=1..infinity); (Logarithmus-Reihe)

NiMsJCokLCZJInhHNiIiIiIhIiJGKEYpRik=NiMjIiIoIiUrNg==NiMjIiIiIiIjNiNJKWluZmluaXR5R0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiMsJCokSSNQaUdJKnByb3RlY3RlZEdGJiIiIyMiIiIiIic=NiMsJCokSSNQaUdJKnByb3RlY3RlZEdGJiIiJSMiIiIiIyEqNiMsJCokSSNQaUdJKnByb3RlY3RlZEdGJiIiJyMiIiIiJFgqNiMtSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiMiIiM=NiMsJEkjUGlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiUjIiIiIiIlNiMiIiI=NiMiIic=NiMiIzo=NiNJKWluZmluaXR5R0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiMsJiEiIyIiIkkjUGlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRidGJQ==NiMtSSRleHBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0Yo

NiMpLCYiIiJGJUkieEc2IkYlSSZhbHBoYUdGJw==NiMtSSRzaW5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSRjb3NHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiMsJiIiIkYrSSJ4R0YoRis=

Es gilt beispielsweise alsoSum(x^n, n=0..infinity)=sum(x^n, n=0..infinity); (unendliche geometrische Reihe)

NiMvLUkkU3VtRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRidJKF9zeXNsaWJHNiI2JClJInhHRilJIm5HRikvRi07IiIhSSlpbmZpbml0eUdGJywkKiQsJkYsIiIiISIiRjVGNkY2

Aufgaben: Bestimme den Grenzwert der Reihen a) a_n=n^2*x^n, n=1..infinity b) a_n=n^3*x^n, n=1..infinity c) a_n=n^(-1)*x^n, n=1..infinity d) a_n=1/n!, n=1..infinity e) a_n=n!/n^n, n=1..infinity f) a_n=1/n^n, n=1..infinity g) a_n=((n+5)/(3n-2))^(3n), n=1..infinity h) a_n=1/sqrt(n), n=1..infinity i) a_n=3/(2n(n+5)), n=1..infinity j) a_n=1/(3n-1), n=1..infinity k) a_n=1/(2(n+1)(n+3)), n=1..infinity l) a_n=(-1)^n*(n+5)/(n^2), n=2..infinity m) a_n=(-1)^n*(k^2)/(5^k), n=0..infinity n) a_n=10^n*(n^2)/(n!), n=0..infinity o) a_n=(-1)^(n+1)/2^n, n=0..infinity p) a_n=(-1)^n/sqrt(n), n=1..infinity q) a_n=(-1)^n/n^2, n=1..infinity r) a_n=(n/2)^n/n!, n=0..infinity s) a_n=(2n)!/(2n)^(2n+1), n=1..infinity t) a_n=2n^2/((n+1)3^n), n=0..infinity u) a_n=((2n+1)/(5n-1))^(3n-1), n=1..infinity v) a_n=(3n+5)/(2n^3+1), n=1..infinity w) a_n=1/(n(n+3)), n=1..infinity x) a_n=(n+sqrt(n))/(n^2-n), n=2..infinity Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz y) a_n=(n^5+4*n^4+1)/(n^6+2*n^2+2), n=1..infinity z) a_n=x^(2*n)/n!, n=1..infinity \344) a_n=n^(n^2)/(n+1)^(n^2), n=1..infinity \366) a_n=3^n/(ln(n))^n, n=2..infinity

Die Grenzwerte unendlicher Produkte lassen sich mithilfe der Funktion "product(faktor(n), n=k..infinity)" berechnen. Man beachte den Unterschied zwischen den Funktionen "product()" und "Product()". Wir betrachten exemplarisch das folgende Beispiel:Product((4*n^2)/(4*n^2-1),n=1..infinity);

NiMtSShQcm9kdWN0RzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRiZJKF9zeXNsaWJHNiI2JCwkKiZJIm5HRigiIiMsJiokRixGLSIiJSEiIiIiIkYxRjAvRiw7RjJJKWluZmluaXR5R0Ym

Dieses unendliche Produkt besitzt den Grenzwert:product((4*n^2)/(4*n^2-1),n=1..infinity);

NiMsJEkjUGlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiUjIiIiIiIj

Es gilt also:Product((4*n^2)/(4*n^2-1),n=1..infinity)=product((4*n^2)/(4*n^2-1),n=1..infinity);

NiMvLUkoUHJvZHVjdEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YnSShfc3lzbGliRzYiNiQsJComSSJuR0YpIiIjLCYqJEYtRi4iIiUhIiIiIiJGMkYxL0YtO0YzSSlpbmZpbml0eUdGJywkSSNQaUdGJyNGM0Yu

Aufgaben: Bestimme den Grenzwert des folgenden unendlichen Produktes a) a_n=(n^3-1)/(n^3+1), k=2